本文目录
圆锥曲线硬解定理推导？
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理，又称CGY-EH定理(The CGY Ellipse & Hyperbola Theorem)或JZQ-EH定理(The JZQ Ellipse & Hyperbola Theorem)，其是一套求解椭圆（或双曲线）与直线相交时，联立方程求判别式、韦达定理与相交弦长的简便算法，常应用于解析几何。
基本信息
中文名
圆锥曲线硬解定理
外文名
CGY-EH & JZQ-EH
别名
圆锥曲线联立公式
目录
定理简介
在将圆锥曲线的方程与直线方程联立求解时人们发现了可消项的存在。但其一般化的推导结果不具有普适性,且一直无法用一个简洁的形式表示.。由CGY(2010)以椭圆曲线推导,重新排列分组形式,并引入ε,从而得出了较为简洁的表示形式。后再由CGY成功引入弦长计算公式,并将适用范围扩大到对y值求解与对x的求解,从而奠定了CGY-EH定理强大的通用性与普适性。
定理内容
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
若曲线 与直线 相交于 两点,则:
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
其中 ； 。
定理说明
应用该定理于
①椭圆时：
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
焦点位x轴时： ，应将 代入。
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
焦点位于y轴时： ，应将 代入。
②双曲线时：
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
焦点位于x轴时： ,应将 代入,同时 不应为零,即 不为零；
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
焦点位于y轴时： ,应将 代入,同时 不应为零,即 不为零
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
求解 与 时，只须 将与的值互换且与的值互换。可知 与 的值不会因此而改变。
定理补充
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
联立曲线方程与 是现行高考中比联立 更为普遍的现象。其中联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一项， ， 都可以直接通过韦达定理
圆锥曲线的面积公式证明方法？
圆锥曲线的面积公式可以用解三角形面积公式以及圆锥曲线定义来进行推导。
圆锥曲线焦点弦比例公式推导过程？
焦点分弦成比例公式ecosθ的全称应该是——圆锥曲线焦点分弦成比例公式ecosθ
圆锥曲线焦点分弦成比例公式ecosθ推导过程是：
ρ(ρcosθ+p)=e
ρ=(ρcosθ+p)e
ρ=eρcosθ+ep
ρ-eρcosθ=ep
ρ(1--ecosθ)=ep
ρ=ep/(1-ecosθ)。
ep/ρ＝1－ecosθ
ecosθ=1-ep/ρ
圆锥曲线包括圆，椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当e>1时为双曲线，当e=1时为抛物线，当e<1时为椭圆。
圆锥曲线两点式技巧？
圆锥曲线的两点式表示法是指以圆锥曲线上两个点为基准，通过这两个点来确定圆锥曲线的方程。其技巧主要有以下三步：1. 求解两点之间的距离和中点坐标。2. 利用圆锥曲线的定义式，代入已知点和中点坐标，解出常数项。3. 代入另一个已知点，解出曲线方程中的变量系数。通过以上步骤，就可以得到圆锥曲线的两点式表示法。需要注意的是，这种表示法只适用于已知两点的情况，如果需要求解更多的点，需要采用其他的表示法。
圆锥曲线化简计算技巧？
圆锥曲线的化简计算技巧有以下几种：1. 完成平方项：将圆锥曲线一般式中的平方项（如$x^2$和$y^2$）加上一些常数，使得它可以表示成一个常数加上一个完全平方的形式，例如$x^2+y^2+2x-4y+1=0$可以化简为$(x+1)^2+(y-2)^2=4$，表示一个以点$(-1,2)$为圆心，半径为$2$的圆。
2. 完成平移：通过将坐标系平移，使得圆锥曲线一般式中的一次项（如$x$和$y$）的系数为$0$，例如$x^2-4x+y^2+2y-3=0$可以化简为$(x-2)^2+(y+1)^2=5$，表示一个以点$(2,-1)$为圆心，半径为$\sqrt{5}$的圆。
3. 完成旋转：通过将坐标系旋转，使得圆锥曲线一般式中的交叉项（如$xy$）的系数为$0$，例如$3x^2-2\sqrt{3}xy+3y^2-4\sqrt{3}x-4y+16=0$可以化简为$\left(\frac{x}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}y\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{y}{2}\right)^2=1$，表示一个以点$\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)$为圆心，半径为$1$的圆。
4. 利用对称性：圆锥曲线具有对称性，可以通过利用对称性简化计算，例如$x^2-4x+y^2+2y-3=0$可以化简为$(x-2)^2+(y+1)^2=5$，表示一个以点$(2,-1)$为圆心，半径为$\sqrt{5}$的圆，也可以通过$x$和$y$的对称性得到$(x-2)^2+(y+1)^2=5$，表示同样的圆。
5. 利用焦点和直线：圆锥曲线的定义是一个点到一条直线的距离比到另一条直线的距离的比值为定值（离心率），通过利用这个定义可以化简圆锥曲线，例如$y^2=4x$可以通过利用焦点$(1,0)$和直线$x=-1$的性质得到，表示一个以焦点为$F(1,0)$，直线为$x=-1$的抛物线。
