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加菲尔德定律？
加菲尔德勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理。
如果直角三角形的直角边长为a和b，斜边长为c，那么，a2+b2=c2。公元前6世纪，古希腊杰出的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）首先从理论上证明了这个定理后，欣喜若狂，宰了100只牛来表示庆祝，因此这个定理又被人叫做“百牛定理”。
加菲尔德对毕达哥拉斯定理的证明是基于一个a、b和高度a+b的梯形。他用两种不同的方式看图的面积：梯形的面积和三个直角三角形的面积，其中两个是相等的。
勾股定理的三种不同证明方法？
1、赵爽弦图
《九章算术》中，赵爽描述此图：勾股各自乘，并之为玄实。开方除之，即玄。案玄图有可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差实亦成玄实。以差实减玄实，半其余。
2、加菲尔德证法
加菲尔德在证出此结论5年后，成为美国第20任总统，所以人们又称其为“总统证法”。
3、加菲尔德证法变式
该证明为加菲尔德证法的变式。
如果将大正方形边长为c的小正方形沿对角线切开，则回到了加菲尔德证法。相反，若将上图中两个梯形拼在一起，就变为了此证明方法。
4、青朱出入图
青朱出入图，是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法，特色鲜明、通俗易懂。
5、欧几里得证法
在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点画一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
公元前十一世纪，数学家商高（西周初年人）就提出“勾三、股四、弦五”。编写于公元前一世纪以前的《周髀算经》中记录着商高与周公的一段对话。
商高说：“……故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理。
勾股定理的几种证明方法？
勾股定理的证明方法如下：
1、以a b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2分之一ab。
2、AEB三点在一条直线上，BFC三点在一条直线上，CGD三点在一条直线上。
3、证明四边形EFGH是一个边长为c的正方形后即可推出勾股定理
4，（利用切割线定理证明）：
在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=b，AB=c，BC=a，以B为圆心，a为半径画圆，AB交圆与D点，AB的延长线交圆于E点。
根据切割线定理（从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项）可得：AC2=AD?AE
∴b2=(c-a)(c+a)=c2-a2
∴a2+b2=c2
5，（利用多列米定理证明）：
?在直角三角形ABC中，设BC=a，AC=b，斜边AB=c，过A点作AD∥CB,过B点作BD∥CA,则四边形ACBD为矩形，矩形ACBD内接于唯一的一个圆。
七巧板勾股定理？
宋朝有个叫黄伯思的人，对几何图形很有研究，他热情好客，发明了一种用6张小桌子组成的“宴几”——请客吃饭的小桌子。
后来有人把它改进为7张桌组成的宴几，可以根据吃饭人数的不同，把桌子拼成不同的形状，比如3人拼成三角形，4人拼成四方形，6人拼成六方形……这样用餐时人人方便，气氛更好。
后来，有人把宴几缩小改变到只有七块板，用它拼图，演变成一种玩具。因为它十分巧妙好玩，所以人们叫它“七巧板”。
到了明末清初，皇宫中的人经常用它来庆贺节日和娱乐，拼成各种吉祥图案和文字，故宫博物院至今还保存着当时的七巧板呢！
18世纪，七巧板传到国外，立刻引起极大的兴趣，有些外国人通宵达旦地玩它，并叫它“唐图”，意思是“来自中国的拼图”。
勾股定理趣事
学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有400多种．其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．
总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的．事情的经过是这样的；
勾股的发现
在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干 什么？
只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道： “如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，
勾股的证明
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。
勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一。例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率。据称金字塔底座的四个直角就是应用这一关系来确定的．至今在建筑工地上，还在用它来放线，进行“归方”，即放“成直角”的线。
正因为这样，人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了。1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 —— 毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对勾股定理的说明。希腊邮票上所示的证明方法，最初记载在欧几里得的《几何原本》里。
尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票，主题是世界上“十个最重要的数学公式”，其中之一便是勾股定理。
2002年的世界数学家大会在中国北京举行，这是21世纪数学家的第一次大聚会，这次大会的会标就选定了验证勾股定理的“弦图”作为中央图案，可以说是充分表现了我国古代数学的成就，也充分弘扬了我国古代的数学文化，另外，我国经过努力终于获得了2002年数学家大会的主办权，这也是国际数学界对我国数学发展的充分肯定。
今天，世界上几乎没有人不知道七巧板和七巧图，它在国外被称为“唐图”（Tangram），意思是中国图（不是唐代发明的图）。七巧板的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍《周髀算经》，其中有正方形切割术，并由之证明了勾股定理。而当时是将大正方形切割成四个同样的三角形和一个小正方形，即弦图，还不是七巧板。现在的七巧板是经过一段历史演变过程的。
勾股趣事
甚至还有人提出过这样的建议：在地球上建造一个大型装置，以便向可能会来访的“天外来客”表明地球上存在有智慧的生命，最适当的装置就是一个象征勾股定理的巨大图形，可以设在撒哈拉大沙漠、苏联的西伯利亚或其他广阔的荒原上，因为一切有知识的生物都必定知道这个非凡的定理，所以用它来做标志最容易被外来者所识别！?
有趣的是：除了三元二次方程x2 + y2 =z2（其中x、y、z都是未知数）有正整数解以外，其他的三元n次方程xn + yn =zn（n为已知正整数，且n＞2）都不可能有正整数解。这一定理叫做费尔马大定理（费尔马是17世纪法国数学家）。
勾股定理的逆定理的诞生？
勾股定理的证明和逆定理
一、传说中毕达哥拉斯的证法
左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。
在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的，但遗憾的是，他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易懂。
二、赵爽弦图的证法
第一种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为 的直
角三角形围在外面形成的。因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。
第二种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为 的
角三角形拼接形成的(虚线表示)，不过中间缺出一个边长为的正方形“小洞”。
因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式，化简得。
这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。
三、美国第20任总统茄菲尔德的证法
这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和1个直角边为
的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。
这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理是判断三角形为钝角、锐角或直角的一个简单的方法，其中AB=c为最长边:
如果，则△ABC是直角三角形。
如果，则△ABC是锐角三角形(若无先前条件AB=c为最长边,则该式的成立仅满足∠C是锐角)。
如果，则△ABC是钝角三角形。
(这个逆定理其实只是余弦定理的一个延伸)
