辅助角公式是三角函数中的一个重要公式，它描述了同一正弦，余弦和正切的不同角度之间的关系。下面是辅助角公式的常见形式和推导过程，以及一些例题。
常见形式：
$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
$\tan(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$
推导过程：
以第一个公式为例，我们可以通过将 $\sin(\alpha \pm \beta)$ 转化为两个角的三角函数之和来证明它：
$$\begin{aligned} \sin(\alpha+\beta) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ \sin(\alpha-\beta) &= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \end{aligned}$$
首先考虑正弦和余弦的乘积公式：$\sin(\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$。我们可以通过几何证明这个公式。假设有一单位圆，如下图所示：
那么 $\angle AOB = \alpha+\beta$，而且 $\angle OAB = \alpha$ 和 $\angle OBA = \beta$。 根据三角函数定义，我们可以得到以下四个关系：
$$\begin{aligned} \sin \alpha &= AB \\ \cos \alpha &= OA \\ \sin \beta &= OB \\ \cos \beta &= OB \end{aligned}$$
因此，$\sin(\alpha+\beta)$ 可以表示为 $AB$ 的长度，即：
$$\begin{aligned} \sin(\alpha+\beta) &= AB = OD \cos \beta + AD \sin \beta \\ &= \cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta \end{aligned}$$
这里，我们使用了正弦和余弦的乘积公式来计算 $OD$ 和 $AD$。同样的方法也可以使用在 $\sin(\alpha-\beta)$ 上，即可证明第一个辅助角公式。
例题：
1. 如果 $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ 且 $\cos \beta = \frac{3}{4}$，则求 $\sin(\alpha+\beta)$ 的值。
解：根据辅助角公式，我们有 $\sin(\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$。因此，我们需要计算 $\sin \beta$ 和 $\cos \alpha$。
首先，我们可以用勾股定理求出 $\sin \beta$ 的值。因为 $\sin \alpha = \frac{4}{5}$，所以令 $BC = 4$ 和 $AC = 5$。因为 $\triangle ABC$ 是一个直角三角形，所以可得：
$$\sin \beta = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}$$
接下来，我们需要计算 $\cos \alpha$ 的值。因为 $\sin \alpha = \frac{4}{5}$，所以令 $AB = 5$ 和 $OA = 4$。因为 $\triangle AOB$ 是一个直角三角形，所以可得：
$$\cos \alpha = \frac{OA}{AB} = \frac{4}{5}$$
现在，我们可以代入辅助角公式来计算 $\sin(\alpha+\beta)$ 的值：
$$\begin{aligned} \sin(\alpha+\beta) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ &= \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} + \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \\ &= \frac{32}{25} \end{aligned}$$
因此，$\sin(\alpha+\beta) = \frac{32}{25}$。
2. 如果 $\tan \alpha = \frac{4}{3}$ 且 $\tan \beta = \frac{5}{12}$，则求 $\tan(\alpha+\beta)$ 的值。
解：根据辅助角公式，我们有 $\tan(\alpha+\beta) = \dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$。因此，我们需要计算 $\tan \alpha \tan \beta$，$\tan \alpha$，和 $\tan \beta$。
首先，我们可以计算 $\tan \alpha \tan \beta$ 的值：
$$\tan \alpha \tan \beta = \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{12} = \frac{5}{9}$$
接下来，我们需要计算 $\tan \alpha$ 和 $\tan \beta$ 的值。由于 $\tan \alpha = \frac{4}{3}$，我们可以得到以下关系：
$$\begin{aligned} \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} &= \frac{4}{3} \\ \Rightarrow \quad \sin \alpha &= \frac{4}{5}, \cos \alpha = \frac{3}{5} \end{aligned}$$
同样的方法也可以使用在 $\tan \beta$ 上：
$$\begin{aligned} \frac{\sin \beta}{\cos \beta} &= \frac{5}{12} \\ \Rightarrow \quad \sin \beta &= \frac{5}{13}, \cos \beta = \frac{12}{13} \end{aligned}$$
现在，我们可以代入辅助角公式来计算 $\tan(\alpha+\beta)$ 的值：
$$\begin{aligned} \tan(\alpha+\beta) &= \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} \\ &= \frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{5}{9}} \\ &= \frac{47}{31} \end{aligned}$$
因此，$\tan(\alpha+\beta) = \frac{47}{31}$。
