数学史系列之一：数的概念
1、数字是什么？
数学最初是用来回答"多少"这样一类问题的。人类从最远古的蒙昧时代开始，就已经有了原始的"数觉"，但那只不过是对于"一"和"多"的区分和意识。我宁愿用"意识"，而不用"数觉"这个词。因为，其实没有"数觉"这样一回事。
人类的感觉，都有专门的感觉器官，比如，眼睛是"视觉"的器官；耳朵是"听觉"的器官等等，但是我们并没有专门的"数觉"器官。所以，并不存在"数觉"这样一种感觉。甚至于对数的直觉，也几乎不存在。心理学家和人类学家曾经对现代人和原始民族进行过研究，得到的结论是，现代人的视数觉不超过四，原始民族要么没有数的知觉，要么也不会超过四。这是因为，计数是一种思维过程，数字是人们给于"数"的一个概念。
弗雷格说道："数既不能被想象为独立的对象，也不能被想象为外在事物的性质，因为数既不是某种可感觉的东西，也不是外在事物的性质"，数的给出包含着对一个概念的表达。"思维以其最简单的形式告诉你一个东西是什么，它给事物以名称。思维给出的是概念，因为思维就是理解和判断。"因此，数字就是人们给于数量的一个名称，它是一种概念的表达。所以，数字是很少的。当文字发明了以后，人们用来表示数字的文字或符号，最多不超过六十个。倒是有许多不同的词用来表达一些专有的集合，比如汉语中有"一堆"，"一群"，"一帮"，"一套"，"一束"，分别用于不同的对象；甚至对于一些常见的事物，数量"一"也有专门的词语，比如，"一匹"只能用于指称"马"，"一头"可以指称所有的大型动物，比如牛、羊、猪等，但是对于鸡、鸭以及所有的鸟类、昆虫甚至老虎等野生动物，都只能用"一只"来指称。从原始时代一直到现代，马、猪、牛一直都是与人类生活最密切相关的动物，所以有专门量词，这反映了数的概念是与人们的生活经验密切相关的。
从具体事物的多寡，到抽象的数的概念，人类经历了非常漫长的岁月。罗素说道："不知道要经过多少年，人类才发现一对锦鸡和两天是数字二的例子。"直到现在，在大部分的语言里，还有不少的词用来表达"二"这个概念，比如汉语里有：双，对，偶，两，俩，副，复，又，再，朋，等等。可以相信，在人类学会计数的方法之前，一定发明了许多表达具体事物多寡的概念。"正是计数，才使具体的、不同质的的表达多寡的概念结合为统一的抽象的数概念。"
2、计数法和计数工具
数的概念形成的时间已经非常古老了，而计数的方法，也同样产生于遥远的蒙昧时期。最早的计数工具是手指，因为手是人类最方便的劳动工具。亚里士多德认为，我们之所以采用十进制计数法，就是因为我们每个人生来就有十个手指这样一个自然的事实。丹齐克甚至认为："人类在计算方面之所以成功，应当归功于十指分明。就是这些手指，才教会人类计数，从而把数的范围无限扩大开来。如果没有这套装置，人类对于数的技巧就不会比原始的数觉高出多少。"[ 丹齐克《数的发展史》P.8。丹齐克的论断犯了一个逻辑错误，因为"人类"这个概念之下就是意味着人是有手的，当 然也就有十个手指。 手指曾经充当计数工具，但不能说没有这个工具，人类就发展不了数学。]
用手指计数到现在还是幼儿刚开始学习算术时最常用的方法。成年人在推算日期是偶尔也会使用。随着计算器和智能手机的普及，这种最原始而古老的计数方法，终将会被淘汰。但是，这是人类最本能的计数方法，所以在幼儿的学习过程中始终能够看到它们存在的影子。就在几个世纪之前，屈指计数在欧洲还非常的盛行，1520年出版的一本算术教科书上还包含了手算的方法和表示数字的各种手型图。 [ 参见丹齐克《数的发展史》P.9。]
屈指计数虽然方便，但能够计算的数目有限，于是又产生了石子计数、结绳计数、刻痕计数等等的方法。有文献或考古依据的最早的计数方法是结绳计数。中国古代文献《周易?系辞下》记载："上古结绳而治，后世圣人，易之以书契。"结绳而治，就是结绳记事或结绳记数；书契是刻画字符，也就是刻痕计数的一种方法。
结绳计数的方法曾经在世界各地广泛地存在。美国纽约的自然史博物馆收藏有一件古代南美印加部落用来记事的绳结，印加人称之为基普(quipu)。用基普记数在秘鲁高原一直盛行到十九世纪。至今在一些原始部落，还有结绳记事方法的留存。
在美素不达米亚的考古发掘中，发现了一种陶筹计数的工具。陶筹是用陶土做成的不同形状的筹码，有圆形的，锥形的，还有其它一些形状，并且有大小不同的分别。每一种形状陶筹的数量表示某一种物体的数量。后来还把一定数量的陶筹封装到空心的封球内，同时在封球表面印上封印，用于交接或标识所有权。
在荷马史诗里有这样一个故事：当俄底修斯刺瞎独眼巨人波吕斐摩斯并离开库克罗普斯国以后，那个不幸的盲目老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨羊群外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子中捡起一颗石子。晚上，羊群返回山洞，每进去一只，他就从早晨捡起的石子中扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子都扔光时，他就确信所有的羊都返回了山洞。
波吕斐摩斯的故事是利用一一对应的概念作为计数根据的最早的文字记录之一。不管用什么方法或工具，一一对应是计数的基本原理，一个数字对应一个拟计数的对象，按自然数的序列数下去，最后的一个数字，就是计数的结果。这是计数的原理，也是加法的原理。
计数的方法一直在发展，但是一一对应和累加是计数的基本原理。到了当代，各种各样的电子计数器和条码扫描器，已经是最常用的计数工具，但其基本原理和苏美尔人的陶筹计数法并没有本质上的区别。
