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根式的性质及运算法则?
根式运算法则:同次根式相乘,把根式前面的系数相乘,作为积的系数;把被开方数相乘,作为被开方数,根指数不变,然后再化成最简根式。
根式运算法则
相乘时:两个有平方根的数相乘等于根号下两数的乘积,再化简;
相除时:两个有平方根的数相除等于根号下两数的商,再化简;
相加或相减:没有其他方法,只有用计算器求出具体值再相加或相减;
分母为带根号的式子,首先让分母有理化,使②分母没有根号,而把根号转移到
同次根式相乘(除) ,把根式前面的系数相乘(除) ,作为积(商)的系数;把被开方数相乘(除) ,作为被开方数,根指数不变,然后再化成最简根式。非同次根式相乘(除) ,应先化成同次根式后,再按同次根式相乘(除)的法则。
根式的介绍
根式是数学的基本概念之一,是一种含有开方(求方根)运算的代数式,即含有根号的表达式。按根指数是偶数还是奇数,根式分别称为偶次根式或奇次根式。
若x的n次方=a,则x叫作a的n次方根,记作n√a=x,n√a叫做根式。根式的各部分名称:在根式n√a中,n叫做根指数,a叫做被开方数,“√”叫做根号。
根式中含有开方运算的代数式,如n√a=x(n为大于1的正整数,n为奇数时,a为一切实数;n为偶数时,a≥0),其中a叫作被开方数。
根式的来源
法国数学家笛卡尔(1596~1650年)第一个使用了现今用的根号“√ ̄”。有时被开方数的项数较多,为了避免混淆,笛卡尔就用一条横线把这几项连起来,前面放上根号√ ̄(不过,它比路多尔夫的根号多了一个小钩)就为现时根号形式。立方根符号出现得很晚,一直到十八世纪,才在一书中看到符号的使用,比如25的立方根用表示。以后,诸如√ ̄等等形式的根号渐渐使用开来。
最简根式
当根式满足以下三个条件时,称为最简根式。
被开方数的指数与根指数互质;
被开方数不含分母,即被开方数中因数是整数,因式是整式;
被开方数中不含开得尽方的因数或因式。
根式的易考知识点
根据字母的取值范围化简二次根式。
根据二次根式的化简结果确定字母的取值范围。
利用二次根式的性质求字母(或代数式)的最小(大)值。
利用平方差公式进行分母有理化的计算求值;再者就是相关最简二次根式、同类二次根式等相关的基础知识考察。
五四学制整式及其加减知识点归纳?
一、本章知识结构图:
二、知识点总结:
1、代数式:
定义:
注:单独的一个数或字母也是代数式。
①?代数式的值:用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值。
②?代数式的求值:求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简,要先化简再求值。
题型简单总结以下三种:
① 已知条件不化简,所给代数式化简;
② 已知条件化简,所给代数式不化简;
③ 已知条件和所给代数式都要化简。
2、单项式:
定义:数与字母乘积组成的代数式叫单项式,单独一个数或字母也是单项式。
① 单项式的系数:单项式中的数字因数。
② 单项式的次数:单项式中所有的字母的指数和。
3、多项式:
定义:几个单项式的和叫多项式。
① 多项式的项及次数:组成多项式中的单项式叫多项式的项,多项式中次数最高项的次数叫多项式的次数。
注:多项式的次数不是组成多项式的所有字母指数和,多项式的每一项都包括它前面的符号。
4、整式:
定义:单项式与多项式统称整式。(分母含有字母的代数式不是整式)
5、同类项:
定义:所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项,叫做同类项。
例题2、用直线将左右集合中的同类项连接起来:
6、同类项的合并法则:
把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数保持不变。
7、去括号法则:
去括号,看符号;是“+”号不变号;是“-”号全变号。
例题3、求多项式
注:先合并同类项再求值,这样可以简化计算。
三、习题演练:
例题4、 a<0, b>0,c<0, ︱a︱>︱b︱, ︱b︱<︱c︱,
化简下式︱a+c︱+︱b+c︱ ? ︱a+b︱。
略。
例题5、若
① 试求 b 的值,并写出它们的和;
② 在 ① 的条件下,说明不论 x 取什么值时,它们的和总是正数 。
例题6、定义新运算:
注:解答定义新运算题时,我们先要领会其运算规律或方法,再按照其指定的运算方式进行计算即可。
什么叫列整式?
整式整式是有理式的一部分,在有理式中可以包含加,减,乘,除四种运算,但在整式中除数不能含有字母.单项式和多项式统称为整式.
单项式与多项式统称为整式。
单项式
由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式(monomial)。单独一个数或一个字母也是单项式,如Q,-1,a, ,β等。
系数:
(1)单项式中的常数因数叫做单项式的系数(coefficient).如3x的系数是3。
(2)如果一个单项式只含有字母因数,是正数的单项式系数为1,是负数的单项式系数为-1,如 系数为1, 系数为-1。
(3)如果只是一个数字,系数是本身。如5的系数还是5。
次数:
一个单项式中,所有字母指数的和叫做这个单项式的次数(degree of a monomial)。例如 中字母x的次数是1,字母y的次数是2,则 的次数为1+2=3,又如 ,次数为2+1=3,因为3的次数3不算入单项式的次数中。
单独一个非零数的次数是0。
易错混点:
(1)单项式的系数包括前面的符号,如:-a的系数是-1;
(2)单项式是由数字因数和字母因数组成的,单项式不含加减运算,含有除法运算时,分母不含字母,分子不含加减运算,如: 就不是单项式, 也不是单项式,因为它们都含加减运算(但第二题也不是分式,因为 是一个数,所以它是多项式);
(3)单项式的次数与多项式的次数是不同概念,要注意区分;
(4)系数是1或-1时,省略1不写;指数是1时,1也省略不写,在这两个知识点上容易出现错误。
加减法则:
单项式加减即合并同类项,也就是合并前各同类项系数的和,字母不变。
例如: , 等。
同时还要运用到去括号法则和添括号法则。
乘法法则:
单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式
例如:
除法法则:
同底数幂(次方)相除,底数不变,指数相减。
多项式
由有限个单项式的代数和组成的代数式叫做多项式(polynomial)。(化为最简式,即 (常数) (指数不为负数))
项:在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式合并同类项后有几项就叫做几项式。多项式中的符号,看作各项的性质符号.一元N次多项式最多N+1项。
例:在多项式 中,2x和-3是它的项,其中-3是常数项;在多项式 中它的项分别是 、2x和18,其中18是常数项,它是三项式。
次数:多项式中,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数,如: 中, 这一项的次数最高,这个多项式的次数就是 ,这个多项式就是八次三项式。
排列:有时为了计算需要,可以将多项式各项的位置根据加法交换律按照其中某个字母的指数大小顺序来排列。
例如:把多项式 按字母x指数从大到小的顺序排列,写成 ,这叫做把多项式按字母x的降幂排列,若按x指数从小到大排列,则就是把多项式按字母x的升幂排列,写成 ,也可以是多项式中的其他字母。
易错混点:
(1)多项式的次数是次数最高项的次数,而不是各项次数的和,应理解透概念。
(2)看清是降幂还是升幂排列。
(3)降幂和升幂排列都是以某一个字母(未知量)来排序。
完全平方公式几何解释?
完全平方公式即(a±b)2=a2±2ab+b2,该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础,是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。叫做完全平方公式.为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式。